Ejercicio de Números Complejos

Desarrollar:

Recordemos que:

Desarrollando:

Cuadro Diabólico

Continuando con el tema de cuadros mágicos, tenemos un caso particularmente interesante, el cuadro mágico de orden 4 conocido como diabólico.

Primeramente de acuerdo a lo visto en el artículo “Cuadros Mágicos”, determinemos su número mágico:

Recordemos también, que la suma de los números contenidos en cualquier columna, renglón o diagonal deberá ser igual a la constante mágica y no olvidemos que el cuadro deberá llenarse con los números del 1 al 16 sin repetir ninguno.

Construyamos un cuadro como el que sigue, insertando consecutivamente los números del 1 al 16:

Giremos 180 grados los números marcados en naranja con respecto al eje de simetría vertical del cuadro:

Ahora giremos nuevamente 180 grados los números marcados en naranja con respecto al eje de simetría horizontal del cuadro:

Podemos observar que la suma de los números de cualquier renglón o columna, así como la de ambas diagonales, es 34.

Para convertir el cuadro en diabólico, hagamos las siguientes transformaciones:

La columna marcada en naranja movámosla hasta el extremo derecho como se indica:

Finalmente el renglón marcado con naranja de la siguiente figura, movámoslo hasta abajo:

Ahora podrán observar que la suma de los números contenidos en los cuadros correspondientes a las esquinas de cualquier cuadro que se pueda formar nos dará 34.

Diabólico, ¿no?

Cuadros Mágicos

Una curiosidad matemática que en particular me ha llamado la atención y en esta ocasión desearía compartir.

Definamos algunos conceptos:

El orden de un cuadro mágico es el número de casillas que contiene un cuadro mágico en uno de sus lados; es decir, el número que si eleváramos al cuadrado nos daría como resultado el número total de casillas del cuadro.

De acuerdo a lo anterior y a manera de ejemplo, el orden de un cuadro mágico de 9 casillas sería 3.

La constante mágica de un cuadro mágico es el resulatdo que se obtiene al calcular la mitad del producto de la suma del cuadrado del orden más una unidad por el orden; es decir:

; donde: n es el orden del cuadro mágico.

Nuevamente, de acuerdo a lo anterior, la constante mágica de un cuadro mágico de orden 3, sería 15.

Ahora, el cuadro mágico de orden n, se define como aquel que contiene todos los número enteros desde 1 hasta el cuadrado de su orden y que al sumar los número de cualquiera de sus columnas o de cualquiera de sus renglones o de cualquiera de sus diagonales siempre nos dará como resultado un mismo número: su constante mágica.

Una vez más, de acuerdo a lo anterior, un cuadro mágico de orden 3, sería como el que sigue: