Ejercicios de ángulos

Calcular el valor de los ángulos internos del hexágono regular inscrito en una circunferencia de 9 centímetros de radio.

Respuesta:

Al tratarse de un hexágono regular no resulta relevante el hecho de estar inscrito en una circunferencia, así como tampoco el tamaño de la misma.

También tengamos en cuenta que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es igual a 180°.





En este caso se puede observar, que un hexágono regular puede representarse como seis triángulos equiláteros como se muestra.


y estos obviamente, contienen cada uno, 3 ángulos iguales y cada ángulo un valor de 60°



De lo anterior podemos inferir entonces, que cada ángulo interno del hexágono es la suma de dos ángulos de dos triángulos adyacentes como se muestra en la siguiente figura y es igual a 120°.

Finalmente, como el hexágono  cuenta con 6 vértices, el valor de la suma de los ángulos internos es:

Suma de ángulos = 6 x 120° = 720°

El problema de Einstein

Se dice que Albert Einstein es el autor del siguiente problema y también se dice que dijo que el 98% de las personas en el mundo no podrían resolverlo. Investigaré y si encuentro evidencias suficientes les confirmaré la autoria. Por lo pronto y seguramente más interesante pasemos al planteamiento del mismo:

Hechos:

1. Existen 5 casas (sobre una calle) de 5 colores diferentes: azul, verde, rojo, blanco y amarillo.
   
2. En cada casa vive una persona de diferente nacionalidad: británico, danes, alemán, noruego y sueco.
3. Estos 5 dueños toman una cierta bebida: cerveza, café, leche, thé y agua, fuman una cierta marca de cigarrillos: Blue Master, Dunhill, Pall Mall, Prince y Faros, y mantiene una cierta mascota: gato, canario, perro, pez y caballo.
4. Ningún propietario tien la misma mascota, fuma la misma marca de cigarrillos o toma la misma bebida.

Tips:

1. El británico vive en una casa roja.
2. El sueco tiene un perro como mascota.
3. El danés toma thé
4. La casa verde esta a la izquierda de la blanca (junto a ella).
5. El dueño de la casa verde toma café.
6. La persona que fuma Paul Mall cria pájaros.
7. El propietario de la casa amarilla fuma Dunhill.
8. El hombre que vive en la casa que esta en medio toma leche.
9. El noruego vive en la primera casa.
10. El hombre que fuma Faros vive junto al que tiene gatos.
11. El hombre que tiene caballos vive junto al que fuma Dunhill.
12. El propietario que fuma Blue Master toma cerveza.
13. El alemán fuma Prince.
14. El noruego vive junto a la casa azul.
15. El hombre que fuma Faros tiene un vecino que toma agua.

La pregunta es: ¿Quién tiene al pez como mascota?

La próxima semana se publicará la respuesta, esperemos que en ese tiempo ya tengan la solución para compararla.

Ejercicio de Números Complejos

Desarrollar:

Recordemos que:

Desarrollando:

Cuadro Diabólico

Continuando con el tema de cuadros mágicos, tenemos un caso particularmente interesante, el cuadro mágico de orden 4 conocido como diabólico.

Primeramente de acuerdo a lo visto en el artículo “Cuadros Mágicos”, determinemos su número mágico:

Recordemos también, que la suma de los números contenidos en cualquier columna, renglón o diagonal deberá ser igual a la constante mágica y no olvidemos que el cuadro deberá llenarse con los números del 1 al 16 sin repetir ninguno.

Construyamos un cuadro como el que sigue, insertando consecutivamente los números del 1 al 16:

Giremos 180 grados los números marcados en naranja con respecto al eje de simetría vertical del cuadro:

Ahora giremos nuevamente 180 grados los números marcados en naranja con respecto al eje de simetría horizontal del cuadro:

Podemos observar que la suma de los números de cualquier renglón o columna, así como la de ambas diagonales, es 34.

Para convertir el cuadro en diabólico, hagamos las siguientes transformaciones:

La columna marcada en naranja movámosla hasta el extremo derecho como se indica:

Finalmente el renglón marcado con naranja de la siguiente figura, movámoslo hasta abajo:

Ahora podrán observar que la suma de los números contenidos en los cuadros correspondientes a las esquinas de cualquier cuadro que se pueda formar nos dará 34.

Diabólico, ¿no?

Cuadros Mágicos

Una curiosidad matemática que en particular me ha llamado la atención y en esta ocasión desearía compartir.

Definamos algunos conceptos:

El orden de un cuadro mágico es el número de casillas que contiene un cuadro mágico en uno de sus lados; es decir, el número que si eleváramos al cuadrado nos daría como resultado el número total de casillas del cuadro.

De acuerdo a lo anterior y a manera de ejemplo, el orden de un cuadro mágico de 9 casillas sería 3.

La constante mágica de un cuadro mágico es el resulatdo que se obtiene al calcular la mitad del producto de la suma del cuadrado del orden más una unidad por el orden; es decir:

; donde: n es el orden del cuadro mágico.

Nuevamente, de acuerdo a lo anterior, la constante mágica de un cuadro mágico de orden 3, sería 15.

Ahora, el cuadro mágico de orden n, se define como aquel que contiene todos los número enteros desde 1 hasta el cuadrado de su orden y que al sumar los número de cualquiera de sus columnas o de cualquiera de sus renglones o de cualquiera de sus diagonales siempre nos dará como resultado un mismo número: su constante mágica.

Una vez más, de acuerdo a lo anterior, un cuadro mágico de orden 3, sería como el que sigue: